Репетитор по математике онлайн для 7, 8 и 9 класса

С чего начали

• Отрицательные числаЕсть пробелыправила знаков, раскрытие скобок с минусом
• Обыкновенные дробиЗакрепляемобщий знаменатель, смешанные числа
• Проценты и пропорцииЕсть пробелыпроцент от числа, число по его проценту, пропорция
• Линейные уравненияСледующий шагперенос слагаемых, уравнения со скобками, проверка

Почему начинаем с тем 5–6 класса? Часто ошибки в 7 классе выросли из старых: путаница в знаках и дробях внутри новых тем. Когда закрываем их, текущие темы идут легче.

Ближайший месяц

Что делаем дальше

Четыре этапа по порядку, без жёсткой привязки к неделям. Если навык складывается быстрее, идём дальше. Если всплывает старый пробел, сначала закрываем его.

1. Этап 1

   Знаки и дроби без ошибок

   правила знаков → раскрытие скобок → действия с дробями → порядок действий

   Ориентир: решает выражения со скобками и минусами без ошибок в знаках и сам находит ошибку при проверке.

2. Этап 2

   Выражения и уравнения

   подобные слагаемые → раскрытие скобок → линейные уравнения → проверка подстановкой

   Ориентир: сам решает уравнение вроде 3(x − 2) = x + 4 и проверяет ответ подстановкой: при x = 5 слева 3 · 3 = 9, справа 5 + 4 = 9.

3. Этап 3

   Проценты и текстовые задачи

   процент от числа → число по его проценту → пропорция → задача через уравнение

   Ориентир: составляет уравнение по условию и проверяет ответ по смыслу задачи.

4. Этап 4

   Догоняем программу класса

   степень с натуральным показателем → одночлены → многочлены → в геометрии: признаки равенства треугольников

   Ориентир: к контрольной по текущей теме подходит без старых пробелов.

Связь со школой

Зачем именно эти темы

Каждая тема из начала карты нужна дальше, в 7–9 классе.

Отрицательные числа и дроби

любые выражения и уравнения в алгебре

Раскрытие скобок

многочлены и формулы сокращённого умножения в 7 классе

Линейные уравнения

текстовые задачи и системы уравнений в конце 7 класса

Проценты и пропорции

задачи ВПР и ОГЭ, подобие треугольников в 8 классе

Как растёт сложность

• Сначала короткие задания на одно правило, пока ошибка не уйдёт.
• Затем смешанные задания, как в школьной контрольной.
• После этого текущие темы класса, где старые навыки уже внутри.
• Закрытые темы остаются в коротком повторении в начале занятий.

Срез на старте и через 4 недели

На старте ученик решает входную работу, результат по каждой теме записываю в карту. Через 4 недели даю новую работу с теми же типами задач, и «до» и «после» видно рядом. По этому срезу работает гарантия «Результат или 2 занятия бесплатно».

Как отмечаю прогресс

Карту обновляю по итогам занятий: устойчивые темы уходят в повторение, в план добавляется следующий шаг.

Входной срез: с чего начали

На первых занятиях ученик решает 20 коротких задач по темам 7 и начала 8 класса, примерно 45 минут. Каждая задача стоит 1 балл. Результат по каждой теме записываю в карту.

• Формулы сокращённого умноженияЕсть пробелыквадрат суммы и разности, разность квадратов2 из 4
• Разложение на множителиЕсть пробелыобщий множитель за скобки, формулы в обратную сторону1 из 4
• Линейные уравнения и задачиЗакрепляемуравнения со скобками, задача через уравнение3 из 4
• Алгебраические дробиЕсть пробелысокращение, сложение дробей с разными знаменателями1 из 4
• Геометрия 7 классаЗакрепляемпризнаки равенства треугольников, сумма углов, параллельные прямые2 из 4

Итог входного среза: 9 из 20. Меньше всего баллов в формулах сокращённого умножения и разложении на множители: 3 из 8. С них и начинаю: без них не сокращаются дроби с буквами.

Почему на срезе нет квадратных корней? В школе эта тема идёт после алгебраических дробей. На срезе её не даю, разбираю с нуля на 5–6-й неделе.

План на 8 недель

Что разбираю по неделям

Два занятия в неделю по 60 минут, каждые две недели один блок. В начале 5-й недели повторный срез по тем же 20 типам задач, в конце 8-й недели контрольный срез.

1. Недели 1–2

   Многочлены и разложение на множители

   формулы сокращённого умножения → общий множитель за скобки → разложение по формулам → проверка раскрытием скобок

   Ориентир: применяет формулы сокращённого умножения в обе стороны и проверяет себя, раскрыв скобки. Например, 41² = (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681.

2. Недели 3–4

   Алгебраические дроби

   основное свойство дроби → сокращение дробей → сложение и вычитание → умножение и деление

   Ориентир: сокращает дробь с буквами, сначала разложив числитель и знаменатель на множители.

3. Недели 5–6

   Квадратные корни

   Контрольная точка: в начале 5-й недели повторный срез

   арифметический квадратный корень → свойства корней → вынесение множителя из-под корня → сравнение корней

   Ориентир: упрощает выражения с корнями. Например, √50 = √(25 · 2) = 5√2.

4. Недели 7–8

   Геометрия: площади и теорема Пифагора

   В конце 8-й недели контрольный срез: 20 задач тех же типов

   признаки равенства треугольников → параллелограмм и трапеция → площади фигур → теорема Пифагора

   Ориентир: делает чертёж, выписывает, что дано, и находит сторону или площадь по формуле.

Связь со школой

Зачем именно эти темы

Каждая тема из начала карты нужна дальше, в 8 и 9 классе.

Формулы сокращённого умножения

сокращение дробей и квадратные уравнения в 8 классе

Разложение на множители

алгебраические дроби, неравенства и системы 9 класса

Квадратные корни

формула корней квадратного уравнения и теорема Пифагора

Площади и теорема Пифагора

подобие треугольников, векторы и координаты в 9 классе

Как растёт сложность

• Сначала короткие задания на одно правило, пока ошибка не уйдёт.
• Затем смешанные задания, как в школьной контрольной.
• После этого текущие темы класса, где старые навыки уже внутри.
• Закрытые темы остаются в коротком повторении в начале занятий.

Примеры задач

Задачи из плана

Задачи свои, по программе 7⁠–⁠8 класса, по две на каждый блок. Под каждой ответ и пошаговое решение, как в PDF для родителей.

1. Недели 1–2 · формулы сокращённого умножения

   Упростите выражение (x + 5)² − x(x + 10).

   Ответ и решение

   Ответ: 25.

   1. По формуле квадрата суммы: (x + 5)² = x² + 10x + 25.
   2. Раскрываю вторые скобки: x(x + 10) = x² + 10x.
   3. Разность: x² + 10x + 25 − x² − 10x = 25. От x ответ не зависит.
   4. Проверка при x = 2: 7² − 2 · 12 = 49 − 24 = 25.

2. Недели 1–2 · разложение на множители

   Разложите на множители: 3x² − 12.

   Ответ и решение

   Ответ: 3(x − 2)⁠(x + 2).

   1. Выношу общий множитель 3: 3x² − 12 = 3(x² − 4).
   2. В скобках разность квадратов: x² − 4 = (x − 2)⁠(x + 2).
   3. Ответ: 3(x − 2)⁠(x + 2).
   4. Проверка при x = 3: 3 · 9 − 12 = 15 и 3 · 1 · 5 = 15.

3. Недели 3–4 · сокращение дробей

   Сократите дробь x² − 92x + 6 (дробь: x² − 9; знаменатель: 2x + 6) .

   Ответ и решение

   Ответ: x − 32 (дробь: x − 3; знаменатель: 2) .

   1. Раскладываю числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)⁠(x + 3).
   2. В знаменателе выношу 2: 2x + 6 = 2(x + 3).
   3. Сокращаю на (x + 3) и получаю x − 32 (дробь: x − 3; знаменатель: 2) . Сокращать можно, когда x не равен −3.
   4. Проверка при x = 5: 5² − 92 · 5 + 6 (дробь: 5² − 9; знаменатель: 2 · 5 + 6)  = 1616 (дробь: 16; знаменатель: 16)  = 1 и 5 − 32 (дробь: 5 − 3; знаменатель: 2)  = 1.

4. Недели 3–4 · сложение дробей

   Выполните сложение: 1x (дробь: 1; знаменатель: x)  + 23x (дробь: 2; знаменатель: 3x) .

   Ответ и решение

   Ответ: 53x (дробь: 5; знаменатель: 3x) .

   1. Общий знаменатель 3x. Домножаю первую дробь на 3: 1x (дробь: 1; знаменатель: x)  = 33x (дробь: 3; знаменатель: 3x) .
   2. Складываю числители: 33x (дробь: 3; знаменатель: 3x)  + 23x (дробь: 2; знаменатель: 3x)  = 53x (дробь: 5; знаменатель: 3x) .
   3. Проверка при x = 1: 1 + 23 (дробь: 2; знаменатель: 3)  = 53 (дробь: 5; знаменатель: 3) .

5. Недели 5–6 · свойства корней

   Вычислите: √18 · √2.

   Ответ и решение

   Ответ: 6.

   1. Произведение корней равно корню из произведения: √18 · √2 = √36.
   2. √36 = 6, потому что 6² = 36 и 6 больше нуля.
   3. Частая ошибка: перемножить числа под корнем и забыть извлечь корень.

6. Недели 5–6 · вынесение множителя из-под корня

   Упростите: √50 − √8.

   Ответ и решение

   Ответ: 3√2.

   1. Выношу множитель из-под корня: √50 = √(25 · 2) = 5√2.
   2. Так же √8 = √(4 · 2) = 2√2.
   3. Подобные слагаемые: 5√2 − 2√2 = 3√2.
   4. Проверка прикидкой: √50 немного больше 7, √8 немного меньше 3, разность чуть больше 4, а 3√2 это примерно 3 · 1,41, то есть около 4,2.

7. Недели 7–8 · теорема Пифагора

   Диагональ прямоугольника равна 13 см, одна из сторон 5 см. Найдите площадь прямоугольника.

   Ответ и решение

   Ответ: 60 см².

   1. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в них диагональ это гипотенуза.
   2. По теореме Пифагора вторая сторона: 13² − 5² = 169 − 25 = 144, сторона √144 = 12 см.
   3. Площадь: 5 · 12 = 60 см².
   4. Проверка: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

8. Недели 7–8 · площадь трапеции

   Основания трапеции равны 7 см и 13 см, высота 5 см. Найдите площадь трапеции.

   Ответ и решение

   Ответ: 50 см².

   1. Площадь трапеции: полусумма оснований, умноженная на высоту.
   2. Полусумма оснований: (7 + 13) : 2 = 10 см.
   3. Площадь: 10 · 5 = 50 см².
   4. Проверка: диагональ делит трапецию на два треугольника с той же высотой, и 7 · 5 : 2 + 13 · 5 : 2 = 17,5 + 32,5 = 50.

Между занятиями

Домашнее задание

После каждого занятия присылаю два PDF: задачи для ребёнка и пошаговые решения для вас. Решения получаете только вы и сами решаете, когда их показать.

Срез на старте и через 4 недели

На старте ученик решает входную работу, результат по каждой теме записываю в карту. Через 4 недели даю новую работу с теми же типами задач, и «до» и «после» видно рядом. По этому срезу работает гарантия «Результат или 2 занятия бесплатно».

Как отмечаю прогресс

Карту обновляю по итогам занятий: устойчивые темы уходят в повторение, в план добавляется следующий шаг.

Входной срез: с чего начали

На первых занятиях ученик решает 20 коротких задач по темам 8 и начала 9 класса, примерно 45 минут. Каждая задача стоит 1 балл. Результат по каждой теме записываю в карту.

• Квадратные уравненияЗакрепляемформула корней, теорема Виета2 из 4
• Корни и степениЗакрепляемсвойства корней, степень с целым показателем3 из 4
• Квадратичная функцияЕсть пробелывершина параболы, нули функции, чтение графика0 из 4
• Неравенства и системыЕсть пробелынеравенства второй степени, системы уравнений1 из 4
• Геометрия 8 классаЗакрепляемподобие треугольников, теорема Пифагора, площади2 из 4

Итог входного среза: 8 из 20. Меньше всего баллов в квадратичной функции и неравенствах: 1 из 8. Обе темы держатся на квадратных уравнениях, поэтому начинаю с них: там 2 из 4.

Почему на срезе нет векторов и прогрессий? В школе они идут позже. На срезе их не даю: векторы начинаются на 7-й неделе, а прогрессии и вероятность продолжат карту после 8-й недели.

План на 8 недель

Что разбираю по неделям

Два занятия в неделю по 60 минут, каждые две недели один блок. В начале 5-й недели повторный срез по тем же 20 типам задач, в конце 8-й недели контрольный срез.

1. Недели 1–2

   Квадратные уравнения без ошибок

   формула корней → теорема Виета → разложение квадратного трёхчлена → проверка корней

   Ориентир: решает квадратное уравнение и проверяет корни по теореме Виета. Например, у уравнения x² − 5x + 6 = 0 корни 2 и 3: 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6.

2. Недели 3–4

   Квадратичная функция и её график

   вершина параболы → нули функции → график по вершине и нулям → где функция больше нуля

   Ориентир: строит параболу по вершине и нулям и по графику говорит, где функция больше нуля, а где меньше.

3. Недели 5–6

   Неравенства второй степени и системы

   Контрольная точка: в начале 5-й недели повторный срез

   неравенство через параболу → метод интервалов → системы уравнений подстановкой → система с квадратным уравнением

   Ориентир: решает неравенство вроде x² − 4 < 0 по схеме параболы и записывает ответ: −2 < x < 2.

4. Недели 7–8

   Геометрия 9 класса: векторы и треугольники

   В конце 8-й недели контрольный срез: 20 задач тех же типов

   векторы: сложение и координаты → метод координат → теорема косинусов → теорема синусов

   Ориентир: находит координаты и длину вектора и третью сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Связь со школой

Зачем именно эти темы

Темы 9 класса держатся на 8-м, а дальше нужны в 10 и 11 классе.

Квадратные уравнения

квадратичная функция, неравенства и системы в 9 классе

Квадратичная функция

неравенства второй степени, функции в 10 и 11 классе

Неравенства и системы

текстовые задачи через систему, алгебра 10 класса

Векторы и теорема косинусов

решение треугольников, геометрия 10 и 11 класса

Как растёт сложность

• Сначала короткие задания на одно правило, пока ошибка не уйдёт.
• Затем смешанные задания, как в школьной контрольной.
• После этого текущие темы класса, где старые навыки уже внутри.
• Закрытые темы остаются в коротком повторении в начале занятий.

Примеры задач

Задачи из плана

Задачи свои, по программе 8⁠–⁠9 класса, по две на каждый блок. Под каждой ответ и пошаговое решение, как в PDF для родителей.

1. Недели 1–2 · квадратное уравнение

   Решите уравнение 2x² − 7x + 3 = 0.

   Ответ и решение

   Ответ: 12 (дробь: 1; знаменатель: 2) и 3.

   1. Дискриминант: D = 7² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25.
   2. Корни: x = 7 + 54 (дробь: 7 + 5; знаменатель: 4)  = 3 и x = 7 − 54 (дробь: 7 − 5; знаменатель: 4)  = 12 (дробь: 1; знаменатель: 2) .
   3. Проверка по теореме Виета: 3 + 12 (дробь: 1; знаменатель: 2)  = 72 (дробь: 7; знаменатель: 2) и 3 · 12 (дробь: 1; знаменатель: 2)  = 32 (дробь: 3; знаменатель: 2) , как и должно быть: сумма корней 72 (дробь: 7; знаменатель: 2) , произведение 32 (дробь: 3; знаменатель: 2) .

2. Недели 1–2 · теорема Виета

   Не решая уравнение x² − 11x + 24 = 0, найдите сумму и произведение его корней. Затем найдите сами корни.

   Ответ и решение

   Ответ: сумма 11, произведение 24, корни 3 и 8.

   1. По теореме Виета сумма корней равна 11, а произведение равно 24.
   2. Подбираю два числа: 3 · 8 = 24 и 3 + 8 = 11.
   3. Проверка подстановкой: 3² − 11 · 3 + 24 = 9 − 33 + 24 = 0 и 8² − 11 · 8 + 24 = 64 − 88 + 24 = 0.

3. Недели 3–4 · вершина параболы

   Найдите координаты вершины параболы y = x² − 6x + 5 и нули функции.

   Ответ и решение

   Ответ: вершина (3; −4), нули 1 и 5.

   1. Абсцисса вершины: x = 62 (дробь: 6; знаменатель: 2)  = 3.
   2. Ордината: y = 3² − 6 · 3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4.
   3. Нули: x² − 6x + 5 = 0, по теореме Виета корни 1 и 5: 1 + 5 = 6, 1 · 5 = 5.
   4. Проверка: вершина лежит посередине между нулями, (1 + 5) : 2 = 3.

4. Недели 3–4 · чтение графика

   При каких x функция y = x² − 6x + 5 принимает отрицательные значения?

   Ответ и решение

   Ответ: 1 < x < 5.

   1. Ветви параболы направлены вверх: коэффициент при x² равен 1, он больше нуля.
   2. Нули функции 1 и 5, это прошлая задача. Ниже оси x парабола только между нулями.
   3. Значит, y < 0 при 1 < x < 5.
   4. Проверка: при x = 3 значение −4 < 0, а при x = 0 значение 5 > 0.

5. Недели 5–6 · неравенство второй степени

   Решите неравенство x² − x − 12 ≥ 0.

   Ответ и решение

   Ответ: x ≤ −3 или x ≥ 4.

   1. Нули левой части: x² − x − 12 = 0, корни −3 и 4: −3 + 4 = 1, −3 · 4 = −12.
   2. Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение не меньше нуля левее −3 и правее 4, а в самих точках оно равно нулю.
   3. Ответ: x ≤ −3 или x ≥ 4.
   4. Проверка: при x = 5 значение 25 − 5 − 12 = 8, это не меньше нуля; при x = 0 значение −12, поэтому 0 в ответ не входит.

6. Недели 5–6 · система уравнений

   Решите систему уравнений: x + y = 7 и xy = 12.

   Ответ и решение

   Ответ: (3; 4) и (4; 3).

   1. Из первого уравнения y = 7 − x.
   2. Подставляю во второе: x(7 − x) = 12, то есть x² − 7x + 12 = 0, корни 3 и 4.
   3. Если x = 3, то y = 7 − 3 = 4. Если x = 4, то y = 7 − 4 = 3.
   4. Проверка: 3 + 4 = 7 и 3 · 4 = 12.

7. Недели 7–8 · векторы и координаты

   Даны точки A(1; 2) и B(7; 10). Найдите координаты вектора AB и его длину.

   Ответ и решение

   Ответ: вектор AB (6; 8), длина 10.

   1. Из координат конца вычитаю координаты начала: 7 − 1 = 6, 10 − 2 = 8.
   2. Длина вектора: √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
   3. Проверка: это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, и 6² + 8² = 10².

8. Недели 7–8 · теорема косинусов

   В треугольнике две стороны равны 5 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону.

   Ответ и решение

   Ответ: 7 см.

   1. По теореме косинусов квадрат третьей стороны: c² = a² + b² − 2ab · cos C.
   2. Косинус 60° равен 12 (дробь: 1; знаменатель: 2) , поэтому c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · 12 (дробь: 1; знаменатель: 2)  = 25 + 64 − 40 = 49.
   3. Третья сторона: √49 = 7 см.
   4. Проверка: 7 меньше 5 + 8 = 13 и больше 8 − 5 = 3, такой треугольник существует.

Между занятиями

Домашнее задание

После каждого занятия присылаю два PDF: задачи для ребёнка и пошаговые решения для вас. Решения получаете только вы и сами решаете, когда их показать.

Срез на старте и через 4 недели

На старте ученик решает входную работу, результат по каждой теме записываю в карту. Через 4 недели даю новую работу с теми же типами задач, и «до» и «после» видно рядом. По этому срезу работает гарантия «Результат или 2 занятия бесплатно».

Как отмечаю прогресс

Карту обновляю по итогам занятий: устойчивые темы уходят в повторение, в план добавляется следующий шаг.