Подготовка в физмат-лицей и к олимпиадам по математике

Входной срез: с чего начали

На первом занятии ученик решает 12 задач за 45 минут, по две на каждую тему. Результат записываю в карту.

• Счёт и порядок действийГотовопорядок действий со скобками, удобный счёт2 из 2
• Задачи на движениеЗакрепляемскорость, время и расстояние, движение навстречу1 из 2
• Задачи на работу и на частиЕсть пробелысовместная работа, задачи на части0 из 2
• ЛогикаЕсть пробелы«кто чем занимается», рыцари и лжецы1 из 2
• Клетчатая бумагаЗакрепляемподсчёт фигур, площадь по клеткам1 из 2
• Перебор вариантовЕсть пробелывыписать все варианты без пропусков и повторов0 из 2

Итог входного среза: 5 из 12. В начале 5-й недели повторю срез с задачами тех же типов. Слабее всего задачи на работу и на части и перебор вариантов: 0 из 2.

Почему на срезе нет задач «с конца» и на чётность? Эти приёмы на входном срезе не даю: это новый материал, он начинается с 7-й недели.

План на 12 недель

Что делаем по неделям

Два занятия в неделю по 60 минут. Каждые две недели одна большая тема. В начале 5-й недели повторный срез, на 11-й неделе пробное вступительное.

1. Недели 1–2

   Счёт и порядок действий

   порядок действий со скобками → удобный счёт → проверка прикидкой → действия с большими числами

   Ориентир: считает без ошибок и сам выбирает удобный порядок. Например, видит, что 25 · 4 = 100, и считает 25 · 7 · 4 = 100 · 7 = 700.

2. Недели 3–4

   Задачи на движение

   скорость, время, расстояние → движение навстречу → движение вдогонку → схема к задаче

   Ориентир: рисует схему движения, решает задачу по действиям и проверяет ответ по смыслу.

3. Недели 5–6

   Задачи на работу и на части

   Контрольная точка: в начале 5-й недели повторный срез

   сколько работы за 1 час → совместная работа → задачи на части → проверка ответа по условию

   Ориентир: делит величину на равные части и считает в частях: сколько частей за минуту, сколько всего.

4. Недели 7–8

   Логика и задачи на смекалку

   таблица для логической задачи → рыцари и лжецы → решение «с конца» → чётность

   Ориентир: раскладывает условие в таблицу, проверяет предположение до противоречия и сверяет ответ с каждым условием.

5. Недели 9–10

   Клетчатая бумага и перебор

   подсчёт фигур по размерам → площадь по клеткам → перебор по порядку → дерево вариантов

   Ориентир: перебирает варианты по порядку, без пропусков и повторов, и объясняет, почему нашёл все.

6. Недели 11–12

   Пробное вступительное

   Контрольная точка: пробное вступительное на 11-й неделе

   пробная работа по всем темам → разбор ошибок → повтор слабых тем → рассказ решения вслух

   Ориентир: держит темп работы, не застревает на одной задаче и может рассказать своё решение вслух.

Связь со вступительными

Зачем именно эти темы

В задачах для поступления темы смешаны: по условию не сразу видно, какой нужен приём. Поэтому тренирую и отдельные приёмы, и выбор приёма в незнакомой задаче.

Счёт и порядок действий

любая задача: ошибка в счёте портит верный ход решения

Задачи на движение

задачи с несколькими участниками, где нужна схема

Работа и части

задачи, где величину удобно разделить на равные части

Логика

задачи «кто есть кто», про рыцарей и лжецов

Клетчатая бумага

задачи на подсчёт и разрезание фигур

Перебор вариантов

задачи, где ответов несколько и нужно найти все

Рассказ решения

задачи, где нужно объяснить ответ, а не только назвать его

Как растёт сложность

• Сначала задача на один приём, со схемой или таблицей.
• Затем та же идея без подсказки.
• Потом задача, где приём нужно узнать самому.
• Пройденные приёмы остаются в короткой разминке в начале занятий.

Примеры задач

Задачи из плана

Задачи свои, в духе кружков и олимпиад для 4⁠–⁠5 класса, по две на каждый блок. Под каждой задачей ответ и пошаговое решение, как в PDF для родителей.

1. Недели 1–2 · порядок действий

   Вычислите: 120 − 4 · (36 − 18 : 3).

   Ответ и решение

   Ответ: 0.

   1. Сначала действие в скобках, а в скобках сначала деление: 18 : 3 = 6, затем 36 − 6 = 30.
   2. Потом умножение: 4 · 30 = 120.
   3. Последнее действие вычитание: 120 − 120 = 0.
   4. Частая ошибка: считать слева направо и начать с 120 − 4 = 116.

2. Недели 1–2 · удобный счёт

   Вычислите удобным способом: 4 · 37 · 25.

   Ответ и решение

   Ответ: 3700.

   1. Переставлю множители так, чтобы сначала получилось круглое число: 4 · 25 = 100.
   2. Тогда 100 · 37 = 3700.
   3. Проверка по порядку: 4 · 37 = 148, 148 · 25 = 3700.

3. Недели 3–4 · движение навстречу

   Из двух посёлков, между которыми 54 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного 10 км/ч, другого 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

   Ответ и решение

   Ответ: 3 часа.

   1. За каждый час велосипедисты сближаются на 10 + 8 = 18 км.
   2. Встретятся через 54 : 18 = 3 часа.
   3. Проверка: первый проедет 10 · 3 = 30 км, второй 8 · 3 = 24 км, и 30 + 24 = 54.

4. Недели 3–4 · движение вдогонку

   Пешеход вышел из деревни со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа за ним из той же деревни выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Через сколько часов после выезда велосипедист догонит пешехода?

   Ответ и решение

   Ответ: 1 час.

   1. За 3 часа пешеход ушёл на 4 · 3 = 12 км.
   2. За каждый час велосипедист догоняет на 16 − 4 = 12 км.
   3. Догонит через 12 : 12 = 1 час.
   4. Проверка: велосипедист за 1 час проедет 16 км, а пешеход за 3 + 1 = 4 часа пройдёт 4 · 4 = 16 км.

5. Недели 5–6 · совместная работа

   Одна труба наполняет бак за 6 минут, а другая за 3 минуты. За сколько минут наполнят бак обе трубы вместе?

   Ответ и решение

   Ответ: 2 минуты.

   1. Разделю бак на 6 равных частей. Первая труба наливает 6 частей за 6 минут, то есть 1 часть в минуту.
   2. Вторая наливает 6 частей за 3 минуты: 6 : 3 = 2 части в минуту.
   3. Вместе за минуту 1 + 2 = 3 части, а весь бак за 6 : 3 = 2 минуты.
   4. Проверка: за 2 минуты первая нальёт 2 части, вторая 2 · 2 = 4 части, и 2 + 4 = 6.

6. Недели 5–6 · задача на части

   Купили 3 одинаковых альбома и 6 одинаковых тетрадей и заплатили 270 рублей. Альбом в 4 раза дороже тетради. Сколько стоит альбом?

   Ответ и решение

   Ответ: 60 рублей.

   1. Цену тетради обозначу одной частью, тогда альбом стоит 4 части.
   2. 3 альбома это 3 · 4 = 12 частей, 6 тетрадей это 6 частей, всего 12 + 6 = 18 частей.
   3. Одна часть: 270 : 18 = 15 рублей, столько стоит тетрадь. Альбом: 15 · 4 = 60 рублей.
   4. Проверка: 3 · 60 + 6 · 15 = 180 + 90 = 270.

7. Недели 7–8 · рыцари и лжецы

   На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Встретились трое: А, Б и В. А сказал: «Б лжец». Б сказал: «В лжец». В сказал: «А и Б оба лжецы». Кто из них рыцарь?

   Ответ и решение

   Ответ: рыцарь только Б, а А и В лжецы.

   1. Предположу, что А рыцарь. Тогда Б лжец, его слова «В лжец» ложны, и В рыцарь.
   2. Но тогда рыцарь В сказал правду: «А и Б оба лжецы». Это противоречит предположению, что А рыцарь. Значит, А лжец.
   3. А солгал, значит, Б не лжец, а рыцарь. Рыцарь Б сказал правду: В лжец.
   4. Проверка: слова лжеца В «А и Б оба лжецы» ложны, ведь Б рыцарь. Все три условия выполнены.

8. Недели 7–8 · решение «с конца»

   Задумали число, умножили его на 3, прибавили 8, разделили на 2 и получили 13. Какое число задумали?

   Ответ и решение

   Ответ: 6.

   1. Иду с конца и делаю обратные действия.
   2. До деления на 2 было 13 · 2 = 26.
   3. До прибавления 8 было 26 − 8 = 18.
   4. До умножения на 3 было 18 : 3 = 6.
   5. Проверка: 6 · 3 = 18, 18 + 8 = 26, 26 : 2 = 13.

9. Недели 9–10 · клетчатая бумага

   Сколько всего квадратов любого размера можно найти в прямоугольнике 3 на 4 клетки? Стороны квадратов идут по линиям сетки.

   Ответ и решение

   Ответ: 20.

   1. Считаю квадраты по размерам, чтобы ничего не пропустить.
   2. Квадратов 1 на 1: 3 · 4 = 12.
   3. Квадратов 2 на 2: их левую верхнюю клетку можно выбрать 2 · 3 = 6 способами.
   4. Квадратов 3 на 3: 1 · 2 = 2. Больше 3 на 3 квадрат в прямоугольник не помещается.
   5. Всего 12 + 6 + 2 = 20. Частая ошибка: посчитать только 12 маленьких клеток.

10. Недели 9–10 · перебор вариантов

    Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2 и 3, если цифры в числе не повторяются? Выпишите их все.

    Ответ и решение

    Ответ: 6 чисел: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

    1. Перебираю по порядку, начиная с первой цифры.
    2. Первая цифра 1: 123 и 132. Первая цифра 2: 213 и 231. Первая цифра 3: 312 и 321.
    3. Первую цифру можно выбрать 3 способами, вторую 2, а третья остаётся одна: 3 · 2 · 1 = 6.
    4. Частая ошибка: выписывать числа вразнобой и пропустить одно.

11. Недели 11–12 · задача на возраст

    Маме 36 лет, а дочке 8 лет. Через сколько лет мама будет в 3 раза старше дочки?

    Ответ и решение

    Ответ: через 6 лет.

    1. Разница в возрасте не меняется: 36 − 8 = 28 лет.
    2. Когда мама в 3 раза старше, разница равна двум возрастам дочки. Значит, дочке тогда 28 : 2 = 14 лет.
    3. Дочке будет 14 лет через 14 − 8 = 6 лет.
    4. Проверка: через 6 лет маме 36 + 6 = 42 года, дочке 14, и 14 · 3 = 42.

12. Недели 11–12 · чётность

    Можно ли набрать ровно 25 рублей десятью монетами по 1 и по 5 рублей?

    Ответ и решение

    Ответ: нельзя.

    1. Каждая монета, и рубль, и пять рублей, это нечётное число рублей.
    2. Сумма двух нечётных чисел чётная, поэтому сумма десяти нечётных чисел тоже чётная.
    3. А 25 число нечётное. Значит, так набрать нельзя.
    4. Проверка перебором: если пятирублёвых монет 0, 1, 2, 3 или 4, сумма равна 10, 14, 18, 22 или 26 рублей. Дальше она только больше, и 25 не получается.

Между занятиями

Домашнее задание

После каждого занятия присылаю два PDF: задачи для ребёнка и пошаговые решения для вас. Решения получаете только вы и сами решаете, когда их показать. Когда приём уже понятен, в задании появляется задача на смекалку.

Контрольная точка

Пробное вступительное на 11-й неделе

Работа по всем темам карты, задачи в духе олимпиад для 4⁠–⁠5 класса. После работы смотрю на три вещи:

• сколько задач решено и на чём потеряны баллы;
• найдены ли все ответы там, где их несколько;
• может ли ученик объяснить, как решал.

Ошибки разбираем на следующем занятии. По итогам пробника выбираю темы на последнюю неделю.

Срез на старте и через 4 недели

На старте ученик решает входную работу, результат по каждой теме записываю в карту. Через 4 недели даю новую работу с теми же типами задач, и «до» и «после» видно рядом. По этому срезу работает гарантия «Результат или 2 занятия бесплатно».

Как отмечаю прогресс

Карту обновляю по итогам занятий: устойчивые темы уходят в повторение, в план добавляется следующий шаг.

Входной срез: с чего начали

На первом занятии ученик решает 12 задач за 60 минут, по две на каждую тему. Темы: программа 7 класса и задачи олимпиадного типа. Результат записываю в карту.

• Уравнения и текстовые задачиЗакрепляемлинейные уравнения, задача на движение через уравнение1 из 2
• Линейная функцияЗакрепляемграфик y = kx + b, точка пересечения графиков1 из 2
• Степени и многочленыЕсть пробелысвойства степеней, формулы сокращённого умножения, разложение на множители1 из 2
• Геометрия 7 классаЕсть пробелыравенство треугольников, равнобедренный треугольник, параллельные прямые, сумма углов0 из 2
• Делимость и остаткиГотовопризнаки делимости, остатки, чётность2 из 2
• Логика и комбинаторикаЕсть пробелы«рыцари и лжецы», перебор, правило произведения1 из 2

Итог входного среза: 6 из 12. В начале 5-й недели повторю срез с задачами тех же типов. Слабее всего геометрия: 0 из 2, доказательство по шагам ученик пока не записывает.

Почему нет инварианта и принципа Дирихле? Эти олимпиадные приёмы на входном срезе не даю: это новый материал, он начинается с 9-й недели.

План на 12 недель

Что делаем по неделям

Два занятия в неделю по 90 минут. Каждые две недели одна большая тема. В начале 5-й недели повторный срез, на 11-й неделе пробное вступительное.

1. Недели 1–2

   Уравнения, текстовые задачи, графики

   линейные уравнения → задача через уравнение → линейная функция и её график → точка пересечения графиков

   Ориентир: сам составляет уравнение по условию задачи, решает его и проверяет ответ по смыслу.

2. Недели 3–4

   Степени и многочлены

   свойства степеней → действия с многочленами → формулы сокращённого умножения → разложение на множители

   Ориентир: применяет формулы сокращённого умножения в обе стороны. Например, по формуле разности квадратов 51² − 49² = (51 − 49)(51 + 49) = 2 · 100 = 200.

3. Недели 5–6

   Геометрия 7 класса

   Контрольная точка: в начале 5-й недели повторный срез

   признаки равенства треугольников → равнобедренный треугольник → параллельные прямые → сумма углов треугольника

   Ориентир: делает чертёж и записывает доказательство по шагам: что дано, что доказать и почему верен каждый шаг.

4. Недели 7–8

   Делимость, остатки, логика

   признаки делимости → остатки и чётность → «рыцари и лжецы» → найти все ответы

   Ориентир: объясняет ответ через остатки и чётность. Например: сумма пяти нечётных чисел не может равняться 100, потому что она нечётная.

5. Недели 9–10

   Комбинаторика и олимпиадные приёмы

   правило произведения → перебор без повторов → инвариант → принцип Дирихле

   Ориентир: считает варианты без пропусков и повторов, по условию узнаёт, какой приём нужен, и записывает решение полным текстом.

6. Недели 11–12

   Пробное вступительное

   Контрольная точка: пробное вступительное на 11-й неделе

   пробная работа на 2 часа → разбор ошибок → повтор слабых тем → рассказ решения вслух

   Ориентир: держит темп работы на 2 часа, не застревает на одной задаче и может рассказать своё решение вслух.

Связь со вступительными

Зачем именно эти темы

На вступительных в физмат-лицей темы смешаны в одной работе. Поэтому тренируем и отдельные приёмы, и выбор приёма в незнакомой задаче.

Уравнения и текстовые задачи

задачи на движение, работу и части, где уравнение нужно составить самому

Линейная функция

задачи с графиками и координатами

Степени и многочлены

удобный счёт и доказательства вида «делится при любом n»

Геометрия 7 класса

задачи на доказательство с чертежом

Делимость и остатки

задачи про цифры и остатки: «может ли…», «найдите все…»

Логика и комбинаторика

задачи, где ответов несколько и нужно найти все

Олимпиадные приёмы

нестандартные задачи олимпиадного типа

Запись и рассказ решения

задачи, где вместе с ответом проверяют решение

Примеры задач

Задачи из плана

Задачи по программе 7 класса и олимпиадные, в духе кружков и вступительных работ, по две на каждый блок. Под каждой задачей ответ и пошаговое решение, как в PDF для родителей.

1. Недели 1–2 · текстовая задача через уравнение

   Турист прошёл маршрут за три дня. В первый день он прошёл треть маршрута, во второй на 4 км меньше, чем в первый, а в третий оставшиеся 22 км. Какова длина маршрута?

   Ответ и решение

   Ответ: 54 км.

   1. Удобно обозначить через x не весь маршрут, а путь первого дня. Тогда весь маршрут 3x км, а во второй день турист прошёл (x − 4) км.
   2. Уравнение: x + (x − 4) + 22 = 3x. Упрощаю: 2x + 18 = 3x, откуда x = 18.
   3. Весь маршрут: 18 · 3 = 54 км.
   4. Проверка: во второй день 18 − 4 = 14 км, и 18 + 14 + 22 = 54.

2. Недели 1–2 · линейная функция

   Найдите координаты точки пересечения графиков функций y = 2x − 3 и y = 6 − x.

   Ответ и решение

   Ответ: (3; 3).

   1. В точке пересечения у обоих графиков один и тот же y, поэтому приравниваю: 2x − 3 = 6 − x.
   2. Переношу x влево, числа вправо: 3x = 9, x = 3.
   3. Подставляю в первую функцию: y = 2 · 3 − 3 = 3.
   4. Проверка по второй функции: 6 − 3 = 3, y тот же. Точка (3; 3).

3. Недели 3–4 · формулы сокращённого умножения

   Вычислите удобным способом: 37² + 2 · 37 · 13 + 13².

   Ответ и решение

   Ответ: 2500.

   1. Это квадрат суммы: a² + 2ab + b² = (a + b)², где a = 37, b = 13.
   2. Значит, выражение равно (37 + 13)² = 50² = 2500.
   3. Проверка прямым счётом: 37² = 1369, 13² = 169, 2 · 37 · 13 = 962, 1369 + 962 + 169 = 2500.

4. Недели 3–4 · разложение на множители

   Докажите, что при любом целом n значение выражения (n + 3)² − (n − 3)² делится на 12.

   Ответ и решение

   Ответ: выражение равно 12n, а 12n делится на 12.

   1. Это разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b), где a = n + 3, b = n − 3.
   2. Множители: (n + 3) − (n − 3) = 6 и (n + 3) + (n − 3) = 2n.
   3. Значит, выражение равно 6 · 2n = 12n, а 12n делится на 12 при любом целом n.
   4. Проверка при n = 5: 8² − 2² = 64 − 4 = 60, и 60 : 12 = 5.

5. Недели 5–6 · равнобедренный треугольник

   В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, угол B равен 40°. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Найдите угол ADC.

   Ответ и решение

   Ответ: 75°.

   1. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому углы A и C равны: (180° − 40°) : 2 = 70°.
   2. Биссектриса делит угол A пополам: угол DAC равен 70° : 2 = 35°.
   3. В треугольнике ADC сумма углов 180°, поэтому угол ADC равен 180° − 35° − 70° = 75°.
   4. Проверка через треугольник ABD: угол ADB равен 180° − 40° − 35° = 105°. Углы ADB и ADC смежные, и 105° + 75° = 180°.

6. Недели 5–6 · равенство треугольников и параллельные прямые

   Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Докажите, что AC = BD и что прямые AC и BD параллельны.

   Ответ и решение

   Ответ: треугольники AOC и BOD равны по первому признаку, отсюда оба утверждения.

   1. Рассмотрим треугольники AOC и BOD: AO = OB и CO = OD, потому что O середина обоих отрезков.
   2. Углы AOC и BOD равны как вертикальные.
   3. По первому признаку (две стороны и угол между ними) треугольники AOC и BOD равны. Значит, AC = BD.
   4. Из равенства треугольников угол OAC равен углу OBD. Это накрест лежащие углы при прямых AC и BD и секущей AB, поэтому прямые AC и BD параллельны.

7. Недели 7–8 · остатки

   Натуральное число при делении на 7 даёт остаток 5. Какой остаток при делении на 7 даёт квадрат этого числа?

   Ответ и решение

   Ответ: 4.

   1. Запишу число как 7k + 5, где k целое.
   2. Квадрат: (7k + 5)² = 49k² + 70k + 25. Первые два слагаемых делятся на 7.
   3. Значит, остаток такой же, как у 25, а 25 : 7 = 3 (ост. 4).
   4. Проверка на числе 12: 12 : 7 = 1 (ост. 5), 12² = 144, 144 : 7 = 20 (ост. 4).

8. Недели 7–8 · логика, найдите все ответы

   За круглым столом сидят 10 человек, каждый из них рыцарь (всегда говорит правду) или лжец (всегда лжёт). Каждый сказал: «Оба моих соседа лжецы». Сколько рыцарей может быть за столом? Найдите все ответы.

   Ответ и решение

   Ответ: 4 или 5.

   1. Рыцарь сказал правду: оба его соседа лжецы. Значит, два рыцаря рядом не сидят, и рыцарей не больше половины, то есть не больше 5.
   2. Лжец солгал: хотя бы один его сосед рыцарь. Значит, трёх лжецов подряд нет, иначе у среднего оба соседа лжецы.
   3. Если рыцарей 3 или меньше, лжецов не меньше 7, а промежутков между рыцарями не больше 3. Тогда в каком-то промежутке хотя бы 3 лжеца подряд, так нельзя. Без рыцарей тоже нельзя: тогда каждый сказал бы правду.
   4. Подходят 5 рыцарей через одного и 4 рыцаря по кругу так: рыцарь, лжец, лжец, рыцарь, лжец, лжец, рыцарь, лжец, рыцарь, лжец. Частая ошибка: найти один ответ и остановиться.

9. Недели 9–10 · комбинаторика

   Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры разные?

   Ответ и решение

   Ответ: 648.

   1. Первая цифра: любая, кроме 0, это 9 вариантов.
   2. Вторая цифра: любая, кроме первой. Ноль здесь уже можно, поэтому снова 9 вариантов.
   3. Третья цифра: любая, кроме двух уже занятых, это 8 вариантов.
   4. По правилу произведения: 9 · 9 · 8 = 648. Частая ошибка: считать 9 · 8 · 7 и забыть, что ноль может стоять на втором и третьем месте.

10. Недели 9–10 · принцип Дирихле

    Докажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

    Ответ и решение

    Ответ: найдутся: остатков при делении на 5 всего пять, а чисел шесть.

    1. При делении на 5 возможны только пять остатков: 0, 1, 2, 3 и 4.
    2. Чисел шесть, а остатков пять. По принципу Дирихле у каких-то двух чисел остатки одинаковые: числа здесь «кролики», а остатки «клетки».
    3. Если у двух чисел остатки одинаковые, их разность делится на 5. Например, у 23 и 8 остаток 3, и 23 − 8 = 15.
    4. Пяти чисел может не хватить: у чисел 0, 1, 2, 3 и 4 ни одна разность на 5 не делится.

Между занятиями

Домашнее задание

После каждого занятия присылаю два PDF: задачи для ребёнка и пошаговые решения для вас. Решения получаете только вы и сами решаете, когда их показать. Когда приём уже понятен, в задании появляется задача на смекалку из сборника.

Дополнительный материал

Задачи на смекалку

Беру задачи из сборника А. В. Спивака «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы». Подряд его не проходим: задача из сборника появляется на занятии или в домашнем задании, когда приём уже понятен.

1. Изучили темупоняли приём
2. Закрепилирешили обычные упражнения
3. Задача из сборникаприменили приём в новой ситуации

Контрольная точка

Пробное вступительное на 11-й неделе

Работа на 2 часа по всем темам карты, задачи в духе вступительных работ прошлых лет. После работы смотрю на три вещи:

• сколько задач решено и на чём потеряны баллы;
• найдены ли все ответы там, где их несколько;
• понятно ли записано решение и доказательство.

Ошибки разбираем на следующем занятии. На случай собеседования ученик рассказывает вслух решение одной-двух задач. По итогам пробника выбираю темы на последнюю неделю.

Срез на старте и через 4 недели

На старте ученик решает входную работу, результат по каждой теме записываю в карту. Через 4 недели даю новую работу с теми же типами задач, и «до» и «после» видно рядом. По этому срезу работает гарантия «Результат или 2 занятия бесплатно».

Как отмечаю прогресс

Карту обновляю по итогам занятий: устойчивые темы уходят в повторение, в план добавляется следующий шаг.